Este artículo analiza el co-movimiento a largo plazo entre los mercados bursátiles del Reino Unido, Alemania y Francia utilizando la técnica de co-integración de Johansen, es decir, la Corrección de Errores de Vector Model (VECM) con un marco de análisis de tendencias estocásticas comunes recursivas. El resultado del análisis indica que no fue hasta 1982 aproximadamente la indicación de una mayor cointegración entre las principales bolsas europeas. Este trabajo trata de replicar hasta cierto punto el análisis realizado por Pascual (2003) en su trabajo titulado "Evaluando la integración y co-integración de los mercados de valores europeos y concentrándose en la parte del análisis del VECM". Introducción El estudio de las tendencias comunes a largo plazo entre series macroeconómicas y financieras de series de tiempo es un análisis econométrico imperativo, ya que ayuda al economista a determinar la correlación entre diversas variables económicas, lo que conduce a pronósticos ya decisiones racionales tomadas por individuos, empresas y el Gobierno sobre temas que afectan la economía de un país y como tal la economía mundial. El análisis de la integración de datos de series temporales económicas y financieras por Christopher Sims (1980) sugiere que el modelo de auto-regresión vectorial (VAR) como una metodología creíble para este propósito. El VAR es un modelo lineal de n variables en el que cada variable se explica a su vez por sus propios valores rezagados, más los valores actuales y pasados de las restantes n-1 variables. Esto significa que se puede analizar más de una variable al mismo tiempo para averiguar la relación que existe entre ellos. Por lo tanto la forma de la regresión del vector: Los escritores profesionales del ensayo Consiga su grado o su dinero detrás usando nuestro servicio de la escritura del ensayo que ensaya la escritura donde i son (nxn) matrices del coeficiente y t es un proceso del vector blanco del ruido blanco no observable cero (nx 1) (serially uncorrelated O independiente) con matriz de covarianza invariante en el tiempo. Para resolver esto, se puede tratar como un problema multivariado de mínimos cuadrados: donde Y es la matriz de las variables dependientes en forma de columnas que representan cada variable. En un análisis VAR, es importante que las variables sean estacionarias I (0) - es decir, no existe ninguna raíz unitaria en el modelo - para apoyar la suposición de que las características estadísticas de los datos se comportarán de la misma manera en el futuro Tiene en el pasado. Sin embargo, se sugiere que no se debe fomentar la diferenciación para crear estacionariedad, porque se argumenta que el objetivo del análisis VAR es únicamente examinar la correlación entre las variables, y la diferencia eliminará la información sobre las relaciones a largo plazo entre las variables , (Brooks, 2008). Los datos de series temporales económicas y financieras, por lo general se sabe que tienen una tendencia estocástica común, esto significa que están correlacionados en el sentido de que se sabe que siguen linealmente una tendencia a largo plazo. Un conjunto de tales series se considera cointegrado cuando contiene una raíz unitaria I (1) y una combinación lineal de ellas es estacionaria. Granger (1981) sugirió primero que un vector de series temporales que se convierten en un proceso estacionario cuando se diferencian, también puede tener una combinación lineal que tiene un proceso estacionario sin diferencias, puede decirse que tales variables son cointegradas, Lo que conduce a la cuestión de cuánta diferenciación debe realizarse sobre las variables en lo que respecta a la combinación de las series temporales consideradas. Se ha identificado que cuando todas las variables son diferenciadas de sus propiedades univariadas apropiadamente, entonces el modelo ya no tiene una representación de series de tiempo lineal multi-variable con una media móvil invertible. En tal caso, se puede decir que el modelo ha sido sobre-diferenciado. Engle y Granger (1987) señalaron que una estructura cointegrada puede ser representada en un modelo de corrección de errores que incluye tanto las características estacionarias como las no estacionarias de las series temporales macroeconómicas, es decir, una serie de combinaciones no estacionarias establecidas que tienen una Factor económico común que los afecta de la misma manera, de modo que existen una tendencia común entre ellos y como tal siempre se moverán linealmente juntos en el largo plazo incluso si se alejan unos de otros en el corto plazo. Estos factores podrían ser inflación, tasas de interés y / o políticas económicas. El modelo de corrección de errores proporciona una metodología que puede utilizarse para estimar, pronosticar y probar la cointegración. El método de Engle y Granger también conocido como la técnica de dos pasos se considera no ser lo suficientemente creíble debido a algunos problemas que implicaban en su procedimiento. Esto es evidente en el análisis realizado por Xu (2005), que consistía en comprobar la eficacia del método de dos pasos utilizado por Lattau y Ludvigson (2001) y el método VECM (Vector Error Correction Model) para verificar el co-movimiento En los datos alemanes y estadounidenses. Se llegó a la conclusión de que el VECM es el método más adecuado para estudiar el efecto de la relación consumo-riqueza (cay) en el rendimiento de las acciones y el exceso de retornos en ambos conjuntos de datos de manera significativa. El objetivo de este trabajo es utilizar el VECM para analizar la cointegración entre tres mercados de valores europeos, a saber, el Reino Unido, Alemania y los mercados de valores franceses, en un intento de replicar a un En el análisis realizado por Pascual (2003) en su documento "Evaluación de la co-integración de las bolsas europeas mediante la prueba de Johansen". Sin embargo, a pesar de que Pascual (2003) utiliza los datos trimestrales de los índices bursátiles europeos de 1960 a 1999, este documento utilizará un tamaño de muestra de 192 observaciones de 1963 a 2010 de los mismos índices bursátiles, . Asimismo, este trabajo se centrará principalmente en el uso de la prueba de Johansen para medir el co-movimiento de los mercados, comparando los resultados de cointegración en diferentes momentos para determinar si existe evidencia de una convergencia creciente de los mercados de valores europeos como Observaciones aumenta. La siguiente sección es la revisión de las literaturas en varios análisis realizados para investigar para la cointegración utilizando VECM, a continuación se describe la metodología que se utilizará en este análisis de documentos, seguida por la presentación e interpretación de los resultados. Análisis de la literatura La integración del mercado financiero ha sido objeto de una extensa investigación en literatura económica desde hace mucho tiempo, con el objetivo de investigar la evidencia de la relación de cointegración entre índices bursátiles nacionales mediante el estudio de los co-movimientos a largo plazo de estos mercados. Según Corhay et al. (1993), este interés se ve impulsado por el aumento del flujo de capitales a través de las fronteras nacionales, las posibles ganancias derivadas de la diversificación internacional y la existencia de interrelaciones de avance entre las bolsas de valores. Sin embargo, se han utilizado y mejorado diferentes métodos con el tiempo. Pascual (2003) intenta demostrar que un aumento de la convergencia entre los índices bursátiles de los mercados de valores europeos seleccionados no debe considerarse como una inferencia precisa del enfoque recursivo propuesto por Rangvid (2001). En su opinión, los resultados del análisis de Rangvid (2001) podrían ser engañosos porque un aumento en la convergencia de los mercados europeos podría interpretarse como resultado del aumento de la potencia de la prueba de Johansen a medida que el tamaño de la muestra aumenta de 20 A 156 observaciones. Así pues, puede decirse que no existen pruebas de una creciente cointegración. A continuación, sugirió un método alternativo para comprobar la creciente integración del mercado de valores. Propone que se estime el término de corrección de errores (ECT), ya que puede reflejar la velocidad de ajuste a las desviaciones de la relación de cointegración a largo plazo. Un valor más alto del coeficiente de la ECT, podría ser interpretado como un nivel más alto de la integración del mercado de valores, a medida que la muestra aumenta. Corhay et al (1993), en su análisis, reconocen que el mejor enfoque para analizar los precios de las acciones cuando las variables involucradas son no estacionarias es el uso del concepto de cointegración o tendencias estocásticas comunes, lo que sugiere que varias variables no estacionarias Se mueven linealmente en el largo plazo. En su opinión, dado que se espera que los mercados de valores de dos o más países europeos estén sujetos a una tendencia común del mercado, entonces puede decirse que los mercados están cointegrados. Su análisis incluyó 389 observaciones quincenales, es decir, del 1 de marzo de 1975 al 30 de septiembre de 1991, de los índices de precios de las acciones de cinco grandes mercados bursátiles europeos (Alemania, Francia, Italia, Reino Unido y Países Bajos). Utilizando el enfoque VECM que se utilizaría más adelante en este documento, que fue propuesto por Johansen (1988), y Johansen y Juselius (1990), que es un enfoque de máxima verosimilitud para estimar y probar el número de con-integración en el modelo VAR. En su conclusión encontraron evidencia que revela que existen algunas tendencias estocásticas a largo plazo entre varios índices bursátiles europeos, aunque también se descubrió que los precios de las acciones italianas parecen no influir en esta tendencia a largo plazo. Pukthuanthong y Roll (2009) en su estudio propone una medida alternativa de la integración de los mercados globales. Sugieren utilizar empíricamente el poder explicativo del modelo multi-factor para investigar la creciente integración de los mercados globales como la correlación de los índices de mercado de los países se considera una medida pobre. Explican que a menos que los mismos factores globales afecten por ejemplo a dos índices de países en la misma proporción, su correlación sería imperfecta aunque los factores globales explican el retorno de los índices en ambos países 100. Observaron que parecen ser un co - integración entre los 17 grandes países a lo largo del tiempo, señalando que la correlación simple no dio un resultado eficiente, porque no logró revelar el grado completo de integración de los índices de los países durante los últimos 30 años. Este ensayo es un trabajo de los estudiantes Este ensayo ha sido enviado por un estudiante. Este no es un ejemplo de la obra escrita por nuestros ensayistas profesionales. Ejemplos de nuestro trabajo La razón por la que los analistas económicos y los responsables de la política económica se interesan en la relación entre los mercados bursátiles y su convergencia podría ser debido a la investigación de si existe la posibilidad de obtener ganancias derivadas de la diversificación internacional, Inversor, por ejemplo, en el caso de que exista una tendencia común lineal a largo plazo entre los mercados bursátiles nacionales, entonces es menos probable la posibilidad de obtener de la diversificación internacional en el largo plazo. Fraser y Oyefeso (2005) en su estudio investigan la convergencia a largo plazo entre el Reino Unido y siete mercados de valores europeos. De los ensayos de cointegración multivariante de Johansen, que se utilizaron en una muestra de datos mensuales durante el período comprendido entre 1974 y 2001, de los índices de precios de un grupo seleccionado de países europeos, incluido el Reino Unido y los Estados Unidos, Francia, Dinamarca, Bélgica, Italia, Suecia y España, muestra que existe una relación a largo plazo entre los mercados bursátiles debido a la presencia de una única tendencia estocástica común. La inferencia sugerida a partir de su análisis confirma que los mercados de valores examinados están completamente correlacionados en el largo plazo o en el futuro. También se observó que los resultados obtenidos de su investigación muestran un grado mucho más de integración que los obtenidos por Corhay et al. (1993) efectuado en un conjunto determinado de mercados europeos, en su opinión, esto podría deberse a la ampliación del plazo. Otros documentos que han apoyado la opinión de que los principales mercados bursátiles del mundo han convergido a largo plazo incluye el de Kasa (1992), donde la muestra de observación proviene de los datos mensuales y trimestrales de los mercados de valores de EE. UU. Japón, Alemania, Inglaterra y Canadá de 1974 a mediados de 1990. En Taylor y Tonks (1989) investigaron el efecto de la abolición del control cambiario del Reino Unido sobre el grado de integración de los mercados bursátiles del Reino Unido y el extranjero, utilizando la técnica de dos pasos de Engle y Granger (1987) para comprobar la cointegración en Datos de series temporales. Sus resultados muestran evidencia que se ajusta a la obtenida del análisis de cointegración mencionado anteriormente. En este caso, con la abolición del control cambiario, la bolsa de valores del Reino Unido se ha integrado con el de Japón, Alemania y los Países Bajos, en su opinión esto podría deberse al hecho de que desde que el control de capital estaba ahora relajado Y como tal se han utilizado las oportunidades de arbitraje inexplotadas. Syriopoulos (2004) investiga la existencia de correlaciones a corto y largo plazo entre los principales mercados de valores desarrollados, Alemania y Estados Unidos, y los mercados emergentes de valores de Europa, Polonia, Hungría, República Checa y Eslovaquia. Se utilizó la técnica VECM y se dedujo que existe una relación de cointegración entre los mercados. En opinión de los autores, las fuerzas domésticas y externas, que pueden denominarse fuerzas macroeconómicas, afectan los comportamientos de los mercados bursátiles, lo que a su vez conduce al equilibrio a largo plazo, se observó también que existe mayor grado de correlación entre Los mercados europeos individuales y los mercados desarrollados en comparación con sus otros mercados emergentes. Esto implica que la estrategia de inversión de la diversificación internacional del riesgo para crear un rendimiento eficiente de la cartera de mercado puede ser limitada para los inversores interesados en utilizar esta estrategia de inversión. En Karolyi y Stulz (1996) investigan los componentes de los co-movimientos de retorno de choque entre países. Las rentabilidades de las acciones estadounidenses y japonesas que se negocian en los Estados Unidos fueron estudiadas para determinar si los anuncios macroeconómicos y las tasas de interés generan choques que afectan los movimientos entre las rentabilidades de las acciones de Estados Unidos y Japón. A partir de los resultados obtenidos del método empírico VECM, se infiere que estos factores macroeconómicos no afectan a los co-movimientos y que la covarianza y las correlaciones en los mercados son altas cuando son altamente volátiles. En su opinión, que es similar a Syriopoulos (2004), esto significa que la diversificación internacional como estrategia de inversión para extender el riesgo podría no ser tan efectiva como se esperaba. Ya que su análisis muestra que la diversificación en este caso no proporciona cobertura suficiente contra los grandes shocks a los índices nacionales como se podría haber esperado. Karolyi y Stulz (1996) también sugirieron que las covarianzas entre los países no son constantes, porque cambian con el tiempo y se pueden pronosticar. Se plantea la cuestión de cuál podría ser la razón del aumento de la cointegración en los mercados bursátiles. ¿Cuáles son los factores macroeconómicos o globales que han llevado al co-movimiento de los índices bursátiles de países emergentes y desarrollados? Estudio de Yang et al (2003) sobre el efecto del establecimiento de la Unión Económica y Monetaria (UEM) en el corto plazo Y la integración a largo plazo entre once mercados de valores europeos y el mercado de valores de Estados Unidos. Sus resultados fueron similares a los obtenidos por Taylor y Tonks (1989) y Corhay et al (1993). Fue en esa opinión que la moderna tecnología de la información y la fusión de bolsas de valores en Europa puede ser el factor que ha aumentado la co-integración entre las bolsas europeas. Por otra parte, Ioannidis et al (2006) al utilizar la metodología propuesta por Lettau y Ludvigson (2001), que es el método de dos pasos, examina tres países: Australia, Reino Unido y Canadá. Confirmaron los resultados del análisis de Lettau y Ludvigson (2001) que sugieren que la variable de cointegración retrasada (cay) es un predictor significativo del retorno esperado o del exceso de retorno de los mercados de valores de los países especificados, tal como ocurre en Aunque Xu (2005) utiliza el VECM para investigar la relación entre la relación consumo-riqueza (cay) sobre las ganancias de las acciones alemanas. El objetivo del análisis de Xu (2005) fue comparar la eficiencia de la metodología propuesta por Lettau y Ludvigson (2001) y el VECM utilizando datos alemanes y estadounidenses, y se concluyó que el VECM es un método más apropiado para estudiar el efecto de Cay en los retornos de las existencias y el exceso de retornos en ambos conjuntos de datos significativamente. Se puede decir entonces que cay puede considerarse un factor macroeconómico que determina la tendencia lineal de los rendimientos bursátiles a largo plazo, ya que existen pruebas de que existe una correlación entre estas variables y los rendimientos de los mercados financieros. Con esta evidencia, los rendimientos del mercado de valores podrían ser predecibles por ciclo de negocios a frecuencias de rotación en el largo plazo. Metodología La metodología que se utilizará es el Modelo de Corrección de Errores de Vector (VECM) que se ha utilizado con mayor frecuencia en el análisis de datos de series temporales económicas. Engle y Granger (1987) explican los aspectos fundamentales de la cointegración. En este trabajo se utilizará el análisis de cointegración en el marco del modelo vectorial autorregresivo (VAR) propuesto por Johansen (1988) y Johansen y Juselius (1990). La siguiente es una explicación estadística del análisis VECM usando la técnica de Johansen como lo indica Brooks (2008). Con el fin de utilizar el enfoque de Johansen, un VAR con k retrasos que contiene un conjunto de g variables (g 2) que se supone que es I (1) y cointegrated, tendría que ser convertido en un modelo de corrección de error vectorial (VECM) De tal manera que se transforma el transformador en un modelo de corrección de error vectorial (VECM) como se muestra en la figura siguiente: yt 1 yt1 2 yt2 k ytk ut g - 1 g - gg - 1 g - gg - 1 g - gg - 1 g - 1 (3) A partir de la ecuación VAR anterior, las variables g se encuentran en la primera forma diferenciada en el lado izquierdo y en el lado derecho K-1 son los rezagos de las variables dependientes en su forma diferenciada, cada uno contiene una matriz de coeficientes que los acompaña. La matriz en la prueba de Johansen puede representar la matriz de coeficientes de largo plazo, ya que todo el yti será cero y el error El término ut se ajustará a su valor esperado de cero dejará en equilibrio ytk 0. El rango de la matriz a partir de su valor propio se utiliza para calcular el número de cointegración entre los ys. Los valores propios, que son el número de sus raíces características que son diferentes de cero, equivale al rango de una matriz. El símbolo i denota los autovalores, que se establecen en orden ascendente, así como 1 2. gramo. En el caso en que los valores propios sean raíces, deben ser inferiores a 1 en valor absoluto y positivo, y 1 será el más cercano a 1, que es el más grande, mientras que g será el más cercano a 0, que es el más pequeño. Cuando las variables analizadas no están cointegradas, el rango de la matriz no será diferente de cero considerablemente, tal que i 0 i. En una prueba de Johansen, hay dos estadısticas de prueba que se usan para el análisis de cointegración, que están en la forma siguiente: trace (r) Ti) (4) (traza 0 cuando todo i 0, para i 1. g. Donde r es el número de vectores cointegrantes bajo la hipótesis nula e i representa el valor estimado para el i-ésimo valor propio de la matriz. En la traza, que es una prueba conjunta, tiene una hipótesis nula en la que el número de vectores cointegrantes es menor o igual que r frente a una hipótesis alternativa de que hay más de r. En las pruebas max se lleva a cabo una prueba separada en cada valor propio con una hipótesis nula que es el número de vectores co-integrantes es ry una hipótesis alternativa de r 1. El test de rastreo comienza con p valores propios y luego en sucesión el mayor es remoto. Cada valor propio tiene consigo un vector de cointegración diferente, que se conoce como los vectores propios. Un valor propio significativamente distinto de cero muestra un vector de cointegración significativo. Los valores críticos utilizados para las dos estadísticas de prueba dependen del valor de g - r, del número de elementos no estacionarios y de cómo se incluyen las constantes en cada una de las ecuaciones. Cuando el valor crítico es menor que las estadísticas de prueba, rechace la hipótesis nula de que hay r co-integrantes de vectores en apoyo de la hipótesis alternativa (r 1 para el rastreo de prueba o más de r para el máximo de prueba). La prueba se realiza en una secuencia y bajo el nulo, r 0, 1. g - 1, de modo que las hipótesis de max se pueden representar como abajo: H0. R 0 frente a H1. 0 lt r g H0. R 1 frente a H1. 1 lt r g H0. R2 frente a H1. 2 lt r g H0. Rg $ ¹ $ frente a H $ ₁ $. R g A partir de lo anterior, la primera prueba significa la hipótesis nula de ausencia de vectores cointegrantes, por lo tanto la matriz correspondiente tiene un rango 0. En el caso en el que se rechaza la hipótesis nula (H0: r 0), se prueba el nulo de que existe un vector de cointegración (H0: r1) y el proceso continúa, y como tal el valor de r se incrementa continuamente Hasta que la hipótesis nula no sea rechazada. La matriz nunca puede estar en el rango completo (g) ya que esto significaría que yt es estacionario. En el caso en que la matriz tiene rango 0, entonces por correspondencia con el caso univariado, yt depende sólo de yt j y no de yt - 1, lo que resultará en una relación de largo plazo entre los elementos de yt - 1, que en Giro significa no co-integración. Por ejemplo, en 1lt rango () lt g, hay r co-integrar vectores. La matriz se caracteriza entonces como el producto de dos matrices, y de la dimensión (g - r) y (r - g), respectivamente, es decir, donde la matriz denota los vectores cointegrantes, mientras que. Que se conoce como el parámetro de ajuste, da la cantidad de cada vector de cointegración asociado con cada ecuación del modelo de corrección de error vectorial. En la siguiente sección, el enfoque de VECM que utiliza la técnica de Johansen como se explica, se llevará a cabo en los tres mercados de valores europeos seleccionados, Reino Unido, Francia y Alemania para investigar la posibilidad de una creciente co-integración del mercado, utilizando hasta cierto punto el enfoque recursivo hecho Por Pascual (2003) que es similar a la realizada por Rangvid (2001). El enfoque de Johansen se aplica entonces al modelo de corrección de errores vectorial xt A 0xt1 i xt1 ut (7) aquí x representa el vector que contiene el valor logarítmico de los índices bursátiles para los países europeos seleccionados. Se observará un mayor número de vectores cointegrantes significativos con el paso del tiempo si los mercados están convergiendo. Datos Los datos utilizados para investigar la cointegración son los datos trimestrales de los índices bursátiles europeos (Reino Unido, Alemania y Francia) de 1963 a 2010, que resultan en un tamaño de muestra total de 192 observaciones obtenidas de DATASTREAM. La razón para iniciar este análisis a partir de 1963 en lugar de 1960, como lo hizo Pascual (2003), se debe a problemas de disponibilidad de datos. A partir de una muestra de 20 trimestres de 1960: T1 a 1964: el cuarto trimestre para tres índices bursátiles europeos se estima recursivamente añadiendo una observación adicional a la vez hasta 2010: T4. En el Apéndice 1, se puede observar observando los datos, que a medida que se agregan más observaciones, las líneas que representan cada variable parecen acercarse y tener una tendencia al alza. Según Pascual (2003), la tendencia al alza puede atribuirse a dos razones. En primer lugar, el número de tendencias estocásticas existentes que conducen los sistemas tridimensionales está disminuyendo con el tiempo a medida que los mercados se integran cada vez más. En segundo lugar, a medida que las observaciones aumentan de 20 a 156, las estadísticas de seguimiento se combinan con los valores de largo plazo. Esto puede interpretarse como la existencia de cointegración entre las variables, aunque el análisis necesario debe ser emprendido para justificar esta suposición. En la sección de representación de resultados, se analizan cuatro ventanas de retardo diferentes, correspondientes a 20, 60, 100, 140 y 192 observaciones. Resultados Presentación El primer paso en el análisis de VECM es verificar la estacionariedad en las variables. La prueba de raíz unitaria se llevó a cabo en el registro de las variables usando la prueba de Dickey-Fuller aumentada (ADF), Philips-Perron (PP) y Kwiatkowski-Philips-Schmidt-Shin (KPSS). Los resultados se presentan a continuación: Unidad de raíz / prueba estacionaria UK I (I) I (I) Tabla 1: Resultados de la raíz unitaria A partir de la tabla anterior, UK, G y F representan respectivamente el Reino Unido, Alemania y Francia, El mercado de valores europeo. De los resultados anteriores se puede inferir que las variables son I (1), lo que significa que existen raíces unitarias y por lo tanto las variables son no estacionarias. Estos resultados se pueden ilustrar en un gráfico de raíz unitaria como se muestra a continuación: Figura 1: Gráfico de raíz unitaria Puesto que uno de los puntos azules toca el círculo, podemos concluir que las variables son no estacionarias. El siguiente paso será especificar el retraso óptimo. La siguiente tabla contiene la estructura de retraso de 20, 60, 100 y 140 observaciones. El retraso óptimo se obtiene cuando el criterio de Akaike tiene un valor mínimo. El Criterio de Información de Akaike es apropiado para este análisis ya que el tamaño amplio es bastante pequeño. Criterio de información de Akaike para VECM con retardo 2 a retraso 10 Número de observaciones Tabla 2: Criterio de información de Akaike De la tabla anterior, comparando los criterios de información se muestra que VAR (1, 2) proporciona los criterios de información más pequeños para todas las categorías de observaciones y Por lo que es la mejor estimación lineal no sesgada. Para 20 observaciones sólo VAR (1, 2) fue obtenible porque es un tamaño de muestra muy pequeño. A continuación se muestra el análisis de cointegración de las variables. Usando el enfoque Johansen FIML para probar la cointegración, hay dos resultados de las pruebas básicas. El valor máximo y la prueba de rastreo como se explicó anteriormente en este artículo. Los resultados de esta prueba se presentan a continuación utilizando la regla de decisión de hipótesis dada: H0: R0 H1: Rgt0Rgt0 H0: 0R1 H1: Rgt1 H0: 0R2 H1: Rgt2Rgt2. Donde R representa el rango y es menor que 3. Prueba de cointegración - Johansen FIML para 20 observaciones Tabla 3: Prueba de Rango de Cointegración No Restringida (Traza) Hipótesis Nº de CE Los resultados de los ensayos de traza muestran que existen 3 ecuaciones de cointegración En el nivel 5 Tabla 4: Prueba de Rango de Cointegración No Restringida (Valor Eigen Máximo) Hipótesis Núm. De CE (s) Los resultados de los valores máximos de los valores propios muestran que existe una ecuación de co-integración en el nivel 5. Prueba de cointegración - Johansen FIML para 60 observaciones Tabla 5: Prueba de Rango de Cointegración no Restringida (Traza) Hipótesis No. de CE (s) Los resultados de los ensayos de traza muestran que no existen ecuaciones de cointegración en el nivel 5. Prueba (Valor Eigenimo Máximo) Hipótesis Núm. De CE (s) Los resultados de los valores máximos de los valores propios muestran que no existe una ecuación de cointegración en el nivel 5. Prueba de cointegración - Johansen FIML para 100 observaciones Tabla 7: Prueba de Rango de Cointegración no Restringida (Traza) Hipótesis Núm. De CE (s) Los resultados de la prueba de rastreo muestran que no existen ecuaciones de cointegración en el nivel 5. Prueba (Valor Eigenimo Máximo) Hipótesis Núm. De CE (s) Los resultados de los valores máximos de los valores propios muestran que no existe una ecuación de cointegración en el nivel 5. Prueba de cointegración - Johansen FIML para 192 observaciones Tabla 9: Prueba de Rango de Cointegración sin Restricciones (Trace) Hipótesis Nº de CE (s) Los resultados de los ensayos de traza muestran que existen 1 ecuaciones de cointegración en el nivel 5 Tabla 10: Prueba (Valor Eigenimo Máximo) Hipótesis Núm. De CE (s) Los resultados de los valores máximos de los valores propios muestran que existe una ecuación co-integrante en el nivel 5. Análisis Las tablas anteriores 3-10 muestran los resultados de cointegración de la prueba recursiva. La prueba de traza y máximo valor propio para 20 observaciones muestra resultados contradictorios, esto puede deberse al pequeño tamaño de la muestra o rupturas estructurales no identificadas en el sistema de cointegración. Nos basamos en el resultado de la prueba de valor máximo-eigen, porque el ensayo de rastreo se puede suponer que es más débil, ya que es propenso a rechazo falso debido a problemas de datos. Por lo tanto, se adopta el resultado de la prueba del valor máximo-eigen, lo que indica que existe una relación de co-integración en las variables vectoriales. En el caso de las observaciones de 60, 100 y 140, los resultados de la prueba de cointegración, tanto para el ensayo de traza como para el valor del valor máximo, indican que no existen relaciones de cointegración entre las variables vectoriales. Rangvid (2001) en su análisis similar lo reconoció cuando afirmó que el quot. Hasta aproximadamente 1982, las indicaciones de una mayor convergencia entre los principales mercados de valores europeos no están claras. A medida que la observación se incrementa a 192, los resultados de la cointegración muestran que existe una co-integración tanto para el test de traza como para el máximo valor propio, esta indicación es confirmada por Rangvid (2001), señaló que fue después de 1982 que allí Parecen ser signos de una creciente convergencia entre los mercados, en su análisis el max-valor propio se hizo significativamente grande y superó el valor crítico. También señaló que este era el período en que se levantaron las restricciones de capital en todo el área europea. Según Pascual (2003), la prueba de cointegración no muestra evidencia significativa de variación en la integración de los mercados europeos analizados. Sin embargo, debido a la creciente velocidad del coeficiente de ajuste entre 1965 y 1986, se sugiere que indica una evidencia de una creciente integración para el mercado francés. A continuación se presentan los gráficos de cointegración: Conclusiones A partir del análisis anterior, los resultados del trabajo de Pascual (2003) se compararon siguiendo el test de cointegración de Johansen y se observó que antes de aproximadamente 1982 existen signos débiles de integración entre el stock europeo seleccionado Mercados, pero después de 1982 se observa la tendencia para que el mercado sea impulsado por la misma tendencia estocástica común. Por lo tanto, en 2010, el resultado de cointegración de la prueba de traza y valor máximo de los valores propios confirmó la observación anterior, ya que ambos indicaron que existe una relación de co-integración en las variables. Sin embargo, Pascual (2003) sugirió una alternativa para medir la convergencia debido al hecho de que el uso de la prueba de Johansen con un enfoque recursivo puede proporcionar resultados engañosos, ya que el valor creciente de las estadísticas de rastreo puede interpretarse como un aumento de la cointegración, De hecho puede ser el debido a la potencia correspondiente de la prueba de Johansen como las observaciones aumenta de 20 a 192. Sugiere que una medida más intuitiva de la integración entre el mercado de valores podría hacerse mediante la estimación de la trayectoria de tiempo seguido por los coeficientes de El término de corrección de errores (ECT), dado que el coeficiente del ECT refleja la velocidad de ajuste a las fluctuaciones del equilibrio de largo plazo, se puede suponer que cuanto más altos sean los valores del coeficiente, mayor será el grado de cointegración del mercado de valores . Bibliografía Brooks, C. (2008). Econometría introductoria para las finanzas. 2ª ed. Cambridge University Press, páginas 292 - 326. Corhay, A. A. Rad, T. Urbain, J. 1993. Common stochastic trends in European stock markets. Economics Letters 42,385-390 Engle, R. F. and Granger, C. W. J. (1987). Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Econometrica, Vol. 55, No. 2 (Mar. 1987), pp. 251-276 Fraser, P. and Oyefeso, O. (2005). US, UK and European Stock Market Integration. Journal of Business and Accounting. Volume 32, Issue 1-2, pp. 161-181. Granger, C. W.J (1981). Some Properties of Time Series Data and their use in Econometric Model Specification. University of California at San Diego, La Jolla, CA 92093, USA Ioannidis C. Peel, D. A. Matthews, K. P.G. (2006). Expected stock returns, aggregate consumption and wealth: Some further empirical evidence. Journal of Macroeconomics. Volume 28, Issue 2, Pages 439-445 Johansen, S. (1988). Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control, 12, 231-254. Johansen, S. and Juselius, K. (1990). Maximum likelihood estimation and inference on cointegration-With application to the demand for money. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 52, 169-210. Karolyi G. A. and Stulz, R. M. (1996). Why Do Markets Move Together An Investigation of U. S.-Japan Stock Return Comovements. The Journal of Finance, Vol. 51, No. 3, pp. 951-986 Kasa, K. 1992. Common stochastic trends in international stock markets. Journal of Monetary Economics 29, 95-124. Lettau, M. and Ludvigson, S. (2001). Consumption, Aggregate Wealth, and Expected Stock Returns. The Journal of Finance, Vol. LVI, No. 3 Pascual, A. G. (2003). Assessing European stock markets (co)integration. Economics Letters 78, 197-203. Pukthuanthong, K. And Roll, R. (2009). Global market integration: An alternative measure and its application. Journal of Financial Economics. Volume 94, Issue 2, November 2009, Pages 214-232 Rangvid, J. 2001. Increasing convergence among European stock markets A recursive common stochastic trends analysis. Economics Letters 71, 383-389. Sims, C. A. (1980). Macroeconomics and Reality. Econometrica, Vol. 48, No. 1, pp. 1-48. Syriopoulos, T. 2004. International Portfolio Diversification to Central European Stock Markets. Applied Financial Economics. Vol. 14. Pp 1253-1268. Taylor, M. P. and I. Tonks (1989). The Internationalization of Stock Markets and the Abolition of U. K Exchange Control. Review of Economics and Statistics, Vol. 71, pp. 332-36. Williams, J. (2011). Empirical Methods in Finance-Lecture Notes, University of Aberdeen. Xu, F. (2005). Does ConsumptionWealth Ratio Signal Stock Returns VECM Results for Germany. Economics Bulletin, Vol. 3, No. 30 pp. 113 Yang, J. Min, I. and Li, Q. (2003). European Stock Market Integration: Does EMU Matter Journal of Business Finance amp Accounting, 30(9) amp (10). References and further reading may be available for this article. To view references and further reading you must purchase this article. Request Removal If you are the original writer of this essay and no longer wish to have the essay published on the UK Essays website then please click on the link below to request removal: More from UK EssaysCoefficient matrices of the MA represention Returns the estimated coefficient matrices of the moving average representation of a stable VAR(p), of an SVAR as an array or a converted VECM to VAR. Usage Arguments x An object of class varest. generated by VAR(), or an object of class svarest. generated by SVAR(), or an object of class svecest nstep An integer specifying the number of moving error coefficient matrices to be calculated. Currently not used. Details If the process bold t is stationary ( i. e. I(0), it has a Wold moving average representation in the form of: bold t Phi0 bold t Phi1 bold Phi bold ldots , whith Phi0 Ik and the matrices Phis can be computed recursively according to: Phis sum s Phi Aj quad s 1, 2, ldots , whereby Aj are set to zero for j p. The matrix elements represent the impulse responses of the components of bold t with respect to the shocks bold t. More precisely, the (i, j)th element of the matrix Phis mirrors the expected response of y to a unit change of the variable y . In case of a SVAR, the impulse response matrices are given by: Thetai Phii A B quad . Albeit the fact, that the Wold decomposition does not exist for nonstationary processes, it is however still possible to compute the Phii matrices likewise with integrated variables or for the level version of a VECM. However, a convergence to zero of Phii as i tends to infinity is not ensured hence some shocks may have a permanent effect. Value An array with dimension (K times K times nstep 1) holding the estimated coefficients of the moving average representation. Note The first returned array element is the starting value, i. e. . Phi0. encoding concept VAR Vector autoregressive Moving Average Representation Impulse Response Function Impulse Responses VECM References Hamilton, J. (1994), Time Series Analysis . Princeton University Press, Princeton. Ltkepohl, H. (2006), New Introduction to Multiple Time Series Analysis . Springer, New York. See Also Aliases Examples Documentation reproduced from package vars. version 1.5-2. License: GPL (gt 2) Community examplesStock Prices, News, and Economic Fluctuations: Comment Keywords: Vector Error Correction Model, long-run restrictions, news shocks Beaudry and Portier (2006) propose an identification scheme to study the effects of news shocks about future productivity in Vector Error Correction Models (VECM). This comment shows that their methodology does not have a unique solution, when applied to their VECMs with more than two variables. The problem arises from the interplay of cointegration assumptions and long-run restrictions imposed by Beaudry and Portier (2006). JEL Classification: G12, E32, E44 In a highly influential paper, Beaudry and Portier (2006) estimate Vector Error Correction Models (VECMs) on U. S. data and find that shocks generating a stock market boom but no contemporaneous movement in Total Factor Productivity ( ) -- henceforth called news -- are closely related to shocks driving long-run variations in . Moreover, these news cause increases in consumption, investment, output and hours on impact and constitute an important source of business cycle fluctuations. These results run counter to basic dynamic stochastic general equilibrium (DSGE) models and have sparked a new literature attempting to generate news-driven positive comovement among macroeconomic aggregates. 1 This comment shows that in the VECMs with more than two variables estimated by Beaudry and Portier (2006), their identification scheme fails to determine news. Yet, these higher-dimension systems are crucial to quantify the business cycle effects of news. 2 The identification problem arises from the interplay of two assumptions. First, the Beaudry-Portier identification scheme requires that one of the non-news shocks has no permanent impact on either or consumption. Second, the VECMs estimated by Beaudry and Portier (2006) impose that and consumption are cointegrated. This means that and consumption have the same permanent component, which makes one of the two long-run restrictions redundant and leaves an infinity of candidate solutions with very different implications for the business cycle. The results reported in Beaudry and Portier (2006) represent just one arbitrary choice among these solutions. 3 A potential way to address the identification problem is to drop the cointegration restriction between and consumption. We do so by applying Beaudry and Portiers (2006) restrictions, called the BP restrictions from hereon, on a vector autoregressive (VAR) system in levels that does not require any a priori assumptions about cointegration. The point estimates of the BP news shock responses in the level VAR resemble closely the results reported by Beaudry and Portier (2006) for their VECM systems. However, this identification is surrounded by a tremendous degree of uncertainty because the VAR estimates imply about a 50 chance that and consumption are cointegrated, in which case the BP restrictions fail to identify news. One can therefore not have any reasonable degree of confidence about the results obtained from the VAR in levels. We also apply the BP restrictions to an alternative VAR system that, consistent with a large class of DSGE models, imposes absence of cointegration between and consumption. In this case, the identification problem disappears but the shock implied by the BP restrictions is largely unrelated to . In sum, dropping the cointegration restriction between and consumption fails to solve the identification problem or generates results that are difficult to interpret as news about future productivity. The remainder of the comment proceeds as follows. Section 2 explains the identification problem arising with the BP restrictions. Section 3 applies the BP restrictions to VAR-based systems that do not impose cointegration between and consumption. Section 4 evaluates the BP restrictions in VAR systems with alternative cointegration assumptions. Section 5 concludes by briefly describing alternative identification strategies of news that do not depend on cointegration restrictions between and . Beaudry and Portier (2006) estimate bivariate, three-variable and four-variable VECMs in . a real stock market price ( ), consumption ( ), hours ( ) and investment ( ). These VECMs can be expressed in vector moving average form as where is empty for the bivariate case for the trivariate case and or for the four-variable case. All variables are logged and detrended. The lag polynomial is inferred from the VECM parameter estimates the vector contains the one-period ahead prediction errors and has variance covariance matrix . 4 Crucially, the VECM imposes a set of cointegration restrictions . where denotes the matrix of cointegrating vectors. As discussed by King, Plosser, Stock and Watson (1991) and Hamilton (1994), cointegration imposes restrictions on . In particular, since is stationary, and thus, is singular. This constrains the set of linearly independent restrictions that can be imposed on the VECM to identify structural shocks. The identification problem arising with the BP restrictions stems from these constraints. Identification maps to structural shocks by . with and thus . Impulse responses to the structural shocks are then given by . Beaudry and Portiers (2006) original idea is that news about future do not have a contemporaneous effect on measured i. e. if the news innovation is the second element of . that the element of is zero. For the bivariate systems that Beaudry and Portier (2006) use as their baseline case, this restriction together with uniquely identifies news. The identification problem arises in the three - and four-variate systems where one zero restriction is no longer sufficient to identify structural shocks. Beaudry and Portiers (2006) strategy consists of adding zero restrictions until identification is achieved. In the trivariate case, these additional restrictions are that one of the non-news shocks has no permanent effect on and so when this non-news shock is the third element of . the and elements of the long-run impact matrix are zero. In the four-variable case, the additional restrictions consist of the same two long-run restrictions plus the assumption that one of the other non-news shocks can only have a contemporaneous effect on . respectively so when this other non-news shock is the fourth element of . the . and elements of are zero. In a typical VAR, the additional zero restrictions, together with the zero impact restriction on and . would be sufficient to uniquely identify all elements of and thus news. Here, this is unfortunately not the case because the three - and four-variable VECMs estimated by Beaudry and Portier (2006) are subject to two, respectively three cointegration restrictions i. e. is a matrix, respectively a matrix of linearly independent rows. 5 Since . the rows of and are linearly dependent of each other. In fact, given the number of cointegrating relationships, and are just of rank 1, and only one linearly independent restriction can be imposed on . One of the two long-run zero restrictions is therefore redundant, leaving and the shock that is supposed to capture news under-identified. 6 Another, perhaps more intuitive way to understand the identification problem is to realize that the imposed cointegration relationships imply for and to share a common trend. But then, when a particular shock, the third element of in this case, is restricted to have zero long-run effect on . it automatically also has zero long run effect on . The identification problem implies that there exists an infinity of solutions consistent with the BP restrictions. The results reported in Beaudry and Portier (2006) represent one particular solution but there is no economic justification for why this solution should be preferred over any of the other solutions. As we show in the Web-Appendix, some of these solutions are not correlated with the shock driving long-run movements in and generate very different impulse responses. In the context of the three - and four-variable VECMs estimated by Beaudry and Portier (2006), it is therefore impossible to draw any conclusions about news based on the BP restrictions. A seemingly natural way to address the identification problem while keeping with the BP restrictions is to drop the cointegration restriction between and . Indeed, as Beaudry and Portier (2006) note themselves, the econometric evidence in favor of two versus one cointegration relationship between . and is not clear-cut, which leaves open the door that and do not share a common trend. Beaudry and Portier (2006) entertain this possibility in the NBER working paper version of their paper where they report results for one of their baseline bivariate systems estimated as a VAR in levels i. e. with no cointegration restrictions imposed. However, they do not report any results for level VARs with more than two variables. One important challenge with implementing the BP restrictions in a VAR in levels is that for the type of non-stationary variables involved in the estimation, there is no finite-valued solution for the long-run impact matrix of the different shocks. Hence, the long-run zero restrictions on which Beaudry and Portiers (2006) identification scheme relies cannot be imposed exactly. 7 We resolve this issue by first computing the linear combination of VAR residuals that account for most of the forecast error variance (FEV) of . respectively . at a long but finite horizon of 400 quarters and then using a projection-based procedure to implement the BP restrictions. 8 We estimate the three - and four-variable level VAR equivalents of Beaudry and Portiers (2006) VECMs using their original data with the number of lags set to four based on traditional information criteria and Portmanteau tests. 9 The first row of Figure 1 reports the results for the four-variable level VAR in ( ) the second row reports the results for the level VAR in ( ). Very similar results obtain for the three-variable case and are therefore not reported. The red solid lines and the blue dashed lines display, respectively, the impulse responses -- generated by the point estimates -- to the shock identified by the BP restrictions and the shock driving long-run variations in . The grey intervals represent a measure of uncertainty about the identification implied by the BP restrictions, which will be discussed further below. Figure 1 about here The impulse responses derived from the point estimates of both level VARs come surprisingly close to the results reported in Beaudry and Portier (2006) for their VECM systems. 10 In particular, the shocks identified from the BP restrictions and the long-run shock lead to almost identical impulse responses and account for a large fraction of movements in at longer-run frequencies and . and at business cycle frequencies. At first sight, one could thus be led to conclude that dropping the cointegration assumption by estimating VARs in levels addresses the identification problem and resurrects the results reported in Beaudry and Portier (2006). However, the reported impulse responses reflect just the point estimates of the level VARs. The problem is that when sampling confidence sets from the estimated level VARs, about 50 of all draws imply that and share a common trend. 11 But then, as described in the previous section, the BP restrictions do not identify news and one is left instead with an infinity of candidate solutions. To illustrate this uncertainty about the BP identification, we take each draw that implies a common trend between and and compute all candidate solutions that are consistent with the BP restrictions and generate a positive impact response of . 12 The grey envelopes in Figure 1 show the resulting range of impulse responses. Clearly, the range is very wide, encompassing the zero line for all variables and frequently extending far beyond the displayed scale. Hence, one cannot have any confidence in the impulse responses generated from the BP restrictions when evaluating the level VARs at their point estimates. In principle, the lack of identification found in the VECMs could be addressed by estimating level systems, that do not impose the common trend assumption on and . For example, the point estimates of the level VARs generate a unique solution. But draws generated from the level VARs place sufficient odds in favor of the common trend assumption, such that this approach does not successfully address the identification problem. Alternatively, the identification can be addressed by estimating systems which impose that and have separate trends. Fisher (2010), for example, notes that DSGE models with neutral and investment-specific technology shocks imply that is not cointegrated with . while sharing a common trend with and . 13 These balanced growth assumptions are straightforward to implement by estimating a stationary VAR in . . and . respectively . 14 Since is no longer cointegrated with . the BP restrictions imply a unique identification across all draws. Figure 2 about here We estimate this stationary VAR specification with Beaudry and Portiers (2006) data and apply the BP restrictions. As shown in Figure 2, the resulting point estimates are very different from the ones reported in Beaudry and Portier (2006). In particular, the identified shock generates a drop in that lasts for 10 years or more and accounts for only a very small fraction of future movements in . This makes it difficult to interpret the identified shock as news about future productivity. This comment shows that the results reported in Beaudry and Portier (2006) are subject to an important identification problem. The problem arises from the interplay of long-run restrictions and cointegration assumptions that Beaudry and Portier (2006) impose with respect to and . Dropping the cointegration restriction between and by estimating a VAR in levels fails to address the identification problem because there is about a 50 probability that and share a common trend. Alternatively, imposing that and are not cointegrated by estimating a stationary VAR generate dynamics for that look very different from the ones reported in Beaudry-Portier (2006) and are difficult to interpret as news about future productivity. The results raise the important question of how to identify news in alternative ways. One example is Beaudry and Lucke (2010) who invoke short - and long-run zero restrictions for non-news shocks that do not depend on cointegration between and . As Fisher (2010) shows, however, the implications for news coming out of this identification crucially depend on the number of cointegration relationships imposed. Another strategy, recently proposed by Barsky and Sims (2011), is to identify news as the shock orthogonal to contemporaneous movements that accounts for the maximum share of unpredictable future movements in . This strategy, which is consistent with Beaudry and Portiers (2006) original idea that is driven by a contemporaneous component and a slowly diffusing news component, has the advantage that it does not rely on additional zero restrictions about other non-news shocks. As a result, it is robust to different assumptions about cointegration and can be applied to arbitrary vector moving-average systems. Interestingly, Barsky and Sims (2011) find that the news resulting from their identification accounts for a substantial share of and macroeconomic aggregates at medium - and long-run horizons. However, their news shock does not generate the type of joint increase in real macroeconomic aggregates on impact that Beaudry and Portier (2006) report and that generated a lot of interest in the literature. Barsky, R. B. and E. R. Sims (2011, April). News shocks and business cycles. Journal of Monetary Economics 58 (3), 273-289. Basu, S. J. G. Fernald, and M. S. Kimball (2006, December). Appendix When has columns and is a matrix, it follows that has rank 1. A. 2 Long-run shocks to TFP in the VECM This section shows how to implement the identification of long-run shocks to in the VECM systems. Throughout, a one-to-one mapping is assumed between forecast errors and structural shocks . which must obviously satisfy . For the VECMs considered by Beaudry and Portier (2006), there is a single common trend driving the permanent component of all variables, since there are cointegrating relationships when the system has variables. For the sake of convenience, the shock driving this trend will be referred to as long-run shocks to . while it should be understood that the same shock also accounts for all long-run movements in . and potential other variables, denoted . This section describes how to construct these long-run shocks from the reduced form parameters of the VECM. Consider the matrix of structural long-run responses . and let the first column of be the responses of forecast errors to the long-run shock. Since no other shock is issued to have a permanent effect on any of the VECMs variables, it follows that where denotes the column vector of long-run responses of to the long-run shock. A singular-value decomposition of yields where and are conformably partitioned, unitary matrices, and . Without loss of generality, can be written as the product of and another matrix . As will be seen next, the long-run restriction requires that is (block-) triangular: The restriction follows from (7 ) and (8 ), since it ensures that where denotes an arbitrary column vector. factorizes . A factorization of that satisfies the long-run restriction (7 ) is the Choleski factorization. The first column of -- the column associated with the long-run shock -- is then given by the first column of and the long-run shocks are the first element of where the remaining column of . and thus also the remaining elements of . reflect an arbitrary permutation of the remaining shocks, without structural interpretation. For future use, the long-run shocks will be denoted . B. Multiple BP shock candidates The BP scheme for identifying news shocks hinges on two long-restrictions, namely that one of the non-news shocks has zero effect on and in the long-run. But as shown above, the matrix of long-run responses in the VECMs VMA representation is singular, with a rank of 1, and one of these long-run restrictions is superfluous, and news shocks are not uniquely identified by the BP scheme. This section describes how to compute the set of candidate shocks in the VECM systems, that are all consistent with the BP restrictions. As an illustration, we reestimate Beaudry and Portiers (2006) four-variable VECMs with their original data and apply the procedure described here to obtain all possible impulse vectors that respect the BP restrictions and generate a positive impact response of the stock market. The results are reported in Section B.2 below. B. 1 The entire set of solutions the BP scheme To recap, the BP restrictions for the four-variable case are There is a measurement error shock, which affects only the fourth variable in on impact depending on the VECM specification this variable is either or . The shock is denoted . The news shock, denoted is orthogonal to on impact. There is a pure demand shock, denoted . which has no permanent effect on and . (As argued above, this shock has thus no permanent effect on any of the VECM variables.) In addition, all structural shocks are orthogonal to each other and have unit variance. Since the VECM has four variables, the three structural shocks also imply a fourth residual structural shock, . without any particular interpretation. A candidate vector of structural shocks can simply be constructed by applying a series of projections using the forecast errors and long-run shocks (see Appendix A.2 ) as follows: is the standardized residual in a regression of the fourth VECM residual, onto the other three residuals. A news shock candidate can then be constructed as any linear combination of the VECM residuals, which is orthogonal to the forecast error for . . and the measurement error shocks . As will be shown below, it is then always possible to construct with the desired properties. Because of the two orthogonality restrictions, only linear combinations in and need to be considered when constructing the news shock candidate. Specifically, we use a Givens rotation to construct and compute the news shock candidate as the standardized residual in regressing onto and . Different news shock candidates are thus indexed by the angle . denoted (Only the half circle is considered, since the sign of the shock is determined by the restriction that it generates a positive stock market response on impact.) For a given it is straightforward to compute a demand shock candidate, . which has no permanent effect on the VECM variables. To ensure this long-run restriction, the demand shock must be orthogonal to . as constructed in Appendix A.2. since is the sole driver of the permanent component in . In addition, the demand shock has to be orthogonal to and . In sum, the demand shock candidate can be constructed as any linear combination of the VECM residuals which is orthogonal to . and . Since there are only four VECM residuals and there are three orthogonality constraints, any linear combination of the VECM residuals yields the same projection residual (up to scale and sign) -- unless this linear combination should lie in the span of the three orthogonality restrictions, which is easy to check. For a given candidate vector of shocks the corresponding candidate matrix is equal to the covariance matrix . which satisfies the BP restrictions by construction. All these computations hold both for population and sample moments. For the trivariate VECMs, the procedure is identical, except for the absence of . The set of BP candidate shocks is then described by any linear combination of the VECM residuals that is orthogonal to on impact. Again, up to scale and sign, candidate shocks can be computed by projecting of any linear combination of the residuals of and . denoted and . off . B. 2 Application to the BP-VECMs The first row of Figure 1 reports the results for Beaudry and Portiers (2006) four-variable VECM in ( ). 15 The second row of Figure 1 reports equivalent results for the four-variable VECM in ( ). Results for the trivariate VECM in ( ) are very similar and are available upon request. The blue solid lines replicate impulse responses for the long-run shock reported in Figure 8 of Beaudry and Portier (2006). The grey intervals show the range of candidate solutions consistent with the BP restrictions. Finally, Example 1 (dash-dotted black lines) and Example 2 (dotted red lines) display the impulse responses for two particular solutions. Example 1 corresponds to the solution that fits the impulse response of to the long-run shock best in a least square sense Example 2 corresponds to the solution that generates a near-zero response of at the 40 quarter forecast horizon. Note: The top row depicts estimates generated by a VECM in . . and . Bottom row shows estimates from VECM in . . and . Both VECMs are estimated with 5 lags and 3 cointegrating vectors, identical to what has been used by Beaudry and Portier (2006, BP). In each panel, the solid blue line shows impulse response to a long-run shock in the grey shaded area depicts the set of all impulse responses consistent with the BP restrictions. the dashed (yellow) and dash-dotted (magenta) lines show two particular impulse responses consistent with the BP restrictions. Example 1 is as close as possible to the responses generated by the long-run shocks, while satisfying the BP restrictions. Example 2 has been chosen to generate a near-zero response of . while also satisfying the BP restrictions. Consistent with the BP restrictions, none of the candidate solutions affect TFP on impact. Likewise but not shown here, none of the corresponding non-news shocks in the third position of have a permanent effect on either or and none of the corresponding non-news shocks in the fourth position of have a contemporaneous effect on . and . This confirms numerically that there is an infinity of candidate solutions satisfying the BP restrictions. The grey intervals and the two examples show that the candidate solutions have very different implications. As Example 1 shows, there exists a solution that appears very close to the impulse responses reported in Figure 8 of Beaudry and Portier (2006). By contrast, as Example 2 shows, another solution that is equally consistent with the BP restrictions generates almost no reaction in but a persistent drop in consumption and hours, respectively investment. Given the very different results across rotations, it should not come as a surprise that the range of correlation coefficients between the shocks satisfying the BP restrictions and the long-run shock is wide for both VECMs, ranging from about -0.50 to 0.99. Likewise, as Table 1 shows, the forecast error variance (FEV) shares of the different variables attributable to shocks consistent with the BP restrictions extends from basically 0 to above 80 for certain forecast horizons. Table 1: Range of FEV Shares generated by VECM Estimates (Forecast horizons) Note: Range of forecast error variance shares explained by shocks satisfying the BP restrictions in the VECM systems at different forecast horizons. Both VECMs are estimated with 5 lags and 3 cointegrating vectors, identical to what has been used by Beaudry and Portier. Since the BP shocks are underidentified in these systems, each column reports the lowest and highest shares found amongst all possible shocks, satisfying the BP restrictions. Each of these candidate solutions also implies different responses to the demand shock, . As required, all of these solutions have zero effect on and . and -- by virtue of the assumed common trend in all variables -- neither on and . This is illustrated in Figure 2. which depicts the set of impulse responses the demand shock in each VECM at very long horizons. These results provide a computational consistency check, that the BP restrictions indeed hold for the entire range of shock responses shown in Figure 1 . Figure A2: Sets of Impulse Responses for Demand Shock Candidates in the VECMs Figure A2 Data Note: The top row depicts estimates generated by a VECM in . . and . Bottom row shows estimates from VECM in . . and . Both VECMs are estimated with 5 lags and 3 cointegrating vectors, identical to what has been used by Beaudry and Portier (2006, BP). In each panel, the grey shaded area depicts the set of all impulse responses to the demand shock consistent with the BP restrictions. By construction, this shock has no long-run effect on either or . and by virtue of the assumed cointegrating relationships, neither on . C. BP restrictions in the stationary VAR This section describes the identification of BP shocks in the stationary VAR. The implementation is fairly similar to the VECM case described in Appendix B above. The major difference is that there is now a unique solution for the BP identification, since the stationary VAR allows for distinct trends in and . The BP news shock is constructed by projecting a linear combination of off the measurement error shock . the demand shock and the forecast error in . As before, is given by projecting off . (The construction of the demand shock will be described further below.) Let these three innovations be stacked in a vector and notice that is entirely spanned by . Since has four elements and has three elements, the residuals of projecting any linear combination off are perfectly correlated (provided the linear combination is not perfectly spanned by ). For example, we can project off to construct the BP shock (up to sign and scale). The sign of the news shock is then determined by the condition that and the scale is identified from . What remains to be shown is the construction of the demand shock . which in turn will depend on constructing two shocks, that drive the permanent components of and denoted and . These two shocks can be constructed using the conventional procedure of Blanchard and Quah (1989) for long-run identification. Notice that these two shocks have no structural interpretation in this context, they are merely sufficient statistics for implementing the long-run restrictions on the demand shock. Specifically, the long-run restrictions amount to require that is orthogonal to and . The long-run innovations and . are constructed by factorizing the long-run variance of . denoted as follows: In this implementation, accounts entirely for fluctuations in the permanent component of . as well as for some of the permanent component in . while explains fluctuations in the stochastic trend in . which are orthogonal to trend movements in . Given . and . the demand shock can be constructed as the standardized residual from projecting any linear combination of onto . Using similar reasoning as before, any linear combination yields the same standardized residuals (except for the degenerate cases where the linear combination is completely spanned and the residuals are all zero). As before, the matrix of impact coefficients is identical to the matrix of covariances between VAR residuals and structural shocks, and these relationships hold in population as well as for sample moments. D. BP restrictions in the level VAR Our implementation of the BP restrictions in the level VAR is very similar to the procedure for the stationary VAR outlined in Appendix C. For given shocks . and . the news shock can be estimated as the projection residual between any linear combination of the VARs forecast errors, . and the above-mentioned three shocks. As before, the measurement error shock . can be obtained by projecting the fourth VAR residual off the other three VAR residuals. The only special feature of our implementation for the level VAR, is the identification of the long-run shocks. Since point estimates of the level VAR typically imply explosive behavior, the sum of the estimated VMA coefficients does not converge to a finite number, and long-run shocks cannot be constructed as in Blanchard and Quah (1989) by factorizing the long-run variance (see also Appendix D ). We follow Francis et al. (2012) and identify the long-run shocks based on their explanatory power for variations in and at long but finite horizons. Specifically, we construct . to explain as much as possible of the forecast-error variance of at lags, and similarly for and . For this method it is convenient to express the identification in terms of an orthonormal matrix ( ). and not in terms of the matrix of impact coefficients . where both are assumed to be related via the Cholesky decomposition of the VARs forecast error variance, chol . We seek the column of . associated with a long-run shock to . Denoting this column . it solves the following variance maximization problem where are the coefficients of the VARs vector moving average representation, . selects from the vector of variables in the VAR. Shocks are constructed using where spans the null space of such that is orthonormal. The procedure is analogous for . using instead of a vector . which selects from the vector of VAR variables. A similar procedures is also used to identify news shocks as defined by Barsky and Sims (2011) and Beaudry et al. (2011). There are just two differences: First, both procedures uses different forecast horizons. Beaudry et al. consider forecast horizons of of 40, 80 or 120 leads and our paper reports results for 120 leads. Barsky and Sims average over the forecast error variances at leads one to 40. Second, both approaches impose the additional requirement that the maximizing shock vector is orthogonal to a vector which selects from the set of VAR variables in the present context, this requirement amounts to the first element of being zero. As a necessary condition, and must not be perfectly correlated, to obtain a unique solution to the projection-based procedure described in Appendix C. When both long-run shocks are perfectly correlated, the orthogonal complement to the space spanned by is not anymore one-dimensional. (A similar issue would arise, if one of the two long-run shocks were perfectly correlated with . the measurement error shock to the fourth variable.) When simulating confidence sets for the level VARs, we found that for about 50 of the draws, and are so highly collinear, that their variance covariance matrix is ill-conditioned. As a consequence, the variance-covariance matrix of is ill-conditioned. In these cases, we treat and as perfectly correlated, such that and share the same common trend. The news shocks are then underidentified, and an infinite number of solutions can be traced out, using a procedure analagously to what is described in Appendix B . This appendix provides the following supplemental results: Figure 3 reports impulse-responses to the BP shocks in the level VARs. The results are identical to those shown in Figure 1 of the paper, except that Figure 3 displays the results at full scale. Table 2 reports the shares of forecast error variances explained by the BP shocks at different horizons in the level VARs, and Table 3 reports the analogous results for the stationary VARs. Note: The results shown in this figure are identical to Figure 1 of the main paper, except for the scale of each plot. The top row depicts estimates generated by the VAR in . . and . The bottom row shows estimates from the VAR in in . . and . Each VAR has 4 lags. In each panel, the solid red line shows point estimates for impulse responses to a news shock identified by the BP restrictions, and the dashed blue line depicts estimates for the long-run shock to . While the BP shocks are uniquely identified when evaluating the level VAR at its point estimates, this is not the case in 45 (upper panels) and 58 (lower panels), respectivelym, of the draws generated by bootstraps of the level VAR, since the estimated trends in and are perfectly correlated (up to machine accuracy) for these draws. The grey shaded areas depict the set of impulse responses consistent with the BP restrictions across all these draws. This area also comprises also any confidence set of impulse responses generated from the bootstrap draws, where the BP shocks are just identified. Table 2: FEV Shares of BP shocks generated by Level VARs (Forecast horizons) Note: Shares of forecast error variances at different horizons explained by the shocks identified by BP restrictions in the stationary VAR. Results are generated from VARs with 4 lags. 80 percent confidence sets reported in parentheses below the point estimates. The views expressed in this paper do not necessarily represent the views of the Federal Reserve System or the Federal Open Market Committee. Return to Text 1. See for example Beaudry and Portier (2007), DenHaan and Kaltenbrunner (2009), Jaimovich and Rebelo (2009), or Schmitt-Grohe and Uribe (2012). Return to Text 2. An equally important reason to work with systems in more than two variables is robustness. If the economy is complicated even in simple ways, then the type of bivariate systems that Beaudry and Portier (2006) use for their baseline analysis is likely to generate inaccurate answers. See Faust and Leeper (1997) for an example in another context. Return to Text 3. The replication files posted on the AER website do not include code showing how news were computed by Beaudry and Portier (2006). In private communication, we learned from the authors that their computations relied on a numerical solver that arbitrarily returned one from the infinite number of viable solutions. Return to Text 4. A Web-Appendix provides details of all derivations and computations. Return to Text 5. See Footnote 8 and the notes to Figures 9 and 10 in Beaudry and Portier (2006) for the number of cointegration restrictions imposed. The notes to the Figures also state that 4-variable VECMs with 3 (or 4) cointegration restrictions correspond to VARs in levels. However, this seems to be a simple mistake. As Beaudry and Portier (2006) write themselves on page 1296, a VECM is equivalent to a VAR in levels only if the matrix of cointegrating vectors is of full rank (also see Hamilton, 1994, chapter 19). Return to Text 6. Technically, the and the equation of on which the long-run restrictions are imposed are the same. This leaves the system short of one equation to identify . Nothing would change about this identification problem if Beaudry and Portier (2006) had imposed cointegrating restrictions only on and but not on any of the other variables (i. e. if was a row-vector with non-zero entries only in the positions related to and ). Return to Text 7. Formally, let the VAR in levels be defined as . Then, the vector-moving average representation in (1 ) can be recovered as . Non-stationarity of the variables in implies that the roots of lie strictly inside the unit circle. In this case, the long-run impact matrix does not converge to a finite-valued solution. Return to Text 8. Details of the procedure, which to our knowledge is new, are provided in the Web-Appendix. Our approach of first computing shocks that account for most of the FEV at long but finite horizons is reminiscent of Francis, Owyang, Roush and DiCecios (2012) method of imposing long-run restrictions. While approximately, the thus identified shocks account for more than 95 of movements in . respectively . at the 400 quarters horizon. Return to Text 9. The measure from Beaudry and Portier (2006) that we use is the Solow Residual adjusted with BLSs capacity utilization index. See Section III. B of their paper. Results would be very similar if we instead used a quarterly interpolation of the measure in Basu, Fernald and Kimball (2006), as provided by Fernald (2012). Return to Text 10. See Figure 9 in the AER paper and Figure 20 in the NBER working paper. Return to Text 11. Specifically, for about 50 of the draws in each level VAR, the two shocks driving the long-term components of and -- as identified by maximizing the FEV share over 400 quarters -- are so highly collinear that their variance-covariance matrix is ill-conditioned. In these cases, the estimated trends in and cannot be reliably distinguished from each other, which is a key prerequisite for unique identification under the BP restrictions. Further details are described in the web-appendix. Return to Text 12. More specifically, for each draw that implies cointegration between and . we apply Givens rotations to obtain all possible impulse vectors consistent with the BP restrictions. Any rotation with a negative impact response of is eliminated so as not to include simple 180 degree rotations of candidate solutions. See the Web-Appendix for details. We could have instead eliminated rotations with a negative long-run effect on . None of the conclusions would have changed. Return to Text 13. Other possible causes for absence of cointegration between and are (permanent) changes in distortionary tax rates or labor force participation. Return to Text 14. Equivalently, the balanced growth assumptions can be implemented in Beaudry and Portiers (2006) VECMs by requiring the matrix of cointegrating vectors to contain only 1s and 0 s in the appropriate positions. Return to Text 15. The measure from Beaudry and Portier (2006) that we use is the one adjusted with BLS capacity utilization index. See Section III. B in their paper. Return to Text clubs This version is optimized for use by screen readers. Descriptions for all mathematical expressions are provided in LaTex format. A printable pdf version is available. Return to Text
No comments:
Post a Comment